Kansrekenen in het kort

Kansexperimenten

Gooi een muntstuk op. Niemand kan zeggen of het ‘munt’ wordt. Maar gooi je heel vaak, dan is ongeveer de helft ‘munt’. We zeggen: de kans op munt is 1 op 2.

Kansexperiment = een proef waarvan het toeval de uitkomst bepaalt.

Eén worp kun je niet voorspellen. Veel worpen samen wel, ongeveer:

Dobbelsteen

6000 keer gooien

± 1000

keer een ‘drie’

Kaarten

1300 keer een kaart trekken uit 52

± 100

keer een aas

Baby’s in België

Van alle pasgeboren baby’s is

51,13 %

een jongen

Kort gezegd

Eén keer proberen leert weinig. Heel vaak proberen leert veel. Daarvoor hebben we wel afspraken en woorden nodig.

Wist je dat?

Kansrekenen begon met dobbelen. In 1654 schreef ridder de Méré, een gokker, een brief aan Blaise Pascal. Pascal besprak het met Pierre de Fermat. Zo begon de kansrekening.

De Méré won geld met deze wedstrijd: ‘Ik gooi 4 keer met één dobbelsteen en krijg minstens één zes.’ Hij verloor geld met: ‘Ik gooi 24 keer met twee dobbelstenen en krijg minstens één dubbele zes.’ Hij dacht dat beide even goed waren. Zijn rekening was fout: \(4 \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{2}{3}\) en \(24 \cdot \tfrac{1}{36} = \tfrac{2}{3}\). Zo werkt het niet.

Ook de oude Grieken dobbelden. Zeus, Poseidon en Hades dobbelden om het heelal. Op een oude amfora in een museum in Vaticaanstad zie je Achilles en Ajax dobbelen.

Uitkomst en uitkomstenverzameling

Uitkomst = wat er uit het experiment komt. Bij een dobbelsteen: 1, 2, 3, 4, 5 of 6.

Uitkomstenverzameling U (ook: universum) = alle mogelijke uitkomsten samen. #U = het aantal uitkomsten.

Eén dobbelsteen

\(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)

\(\#U = 6\)

Eén muntstuk

\(U = \{k, m\}\)
k = kruis, m = munt

\(\#U = 2\)

Twee dobbelstenen

\(U = \{(1,1); (1,2); \ldots ; (6,6)\}\)

\(\#U = 36\)

Gebeurtenissen

Iemand krijgt 3 euro als hij een even getal gooit. Hij kijkt dus naar \(\{2, 4, 6\}\). Dat stuk van U noemen we een gebeurtenis.

Kort gezegd

Een gebeurtenis is een deel van U. We schrijven ze met een hoofdletter: A, B, C … Dus \(A \subset U\).

Voorbeeld met één dobbelsteen

A: even aantal ogen \(\Rightarrow A = \{2, 4, 6\}\)
B: een kwadraat \(\Rightarrow B = \{1, 4\}\)
C: een priemgetal \(\Rightarrow C = \{2, 3, 5\}\)

Bij één dobbelsteen zijn er in totaal \(2^6 = 64\) gebeurtenissen.

Als je 2 gooit, dan is \(2 \in A\). We zeggen: A treedt op of A wordt gerealiseerd.

Bijzondere gebeurtenissen

Zekere gebeurtenis

U zelf. Die komt altijd uit. Bij een dobbelsteen krijg je altijd 1 tot 6.

Onmogelijke gebeurtenis

De lege verzameling \(\varnothing\). Die komt nooit uit. Bijvoorbeeld: een zeven gooien.

Elementaire gebeurtenis

Eén enkele uitkomst. Bij een dobbelsteen: \(\{1\}, \{2\}, \ldots, \{6\}\). Dat zijn er 6.

Afgeleide gebeurtenissen

Je kunt twee gebeurtenissen A en B combineren.

Naam	Teken	Betekenis	A = {2,4,6}, B = {1,4}
Doorsnede	\(A \cap B\)	A en B gebeuren beide	\(\{4\}\)
Vereniging	\(A \cup B\)	A of B (of beide)	\(\{1, 2, 4, 6\}\)
Verschil	\(A \setminus B\)	A wel, B niet	\(\{2, 6\}\)
Verschil	\(B \setminus A\)	B wel, A niet	\(\{1\}\)
Complement	\(\overline{A}\)	A gebeurt niet	\(\overline{A} = \{1, 3, 5\}\), \(\overline{B} = \{2, 3, 5, 6\}\)

Klik op de ogen van de dobbelsteen

Kies zelf welke uitkomsten in A zitten (blauw) en welke in B (groen). Onderaan zie je de afgeleide gebeurtenissen.

Disjunct = twee gebeurtenissen die elkaar uitsluiten. Ze kunnen nooit samen gebeuren: \(A \cap B = \varnothing\). Voorbeeld: twee verschillende elementaire gebeurtenissen, of A en \(\overline{A}\).

Merk op: \(\overline{U} = \varnothing\) en \(\overline{\varnothing} = U\).

Relatieve frequentie en kans

Wist je dat? De Deltawerken

Voor de ramp van 1953 waren de dijken in Nederland zo hoog dat zo’n ramp gemiddeld 1 keer in 300 jaar kon gebeuren. Na de Deltawerken is dat 1 keer in 10 000 jaar. Ingenieurs rekenen dit uit met kansen uit metingen. Dat heten empirische kansen.

a Relatieve frequentie

\[ f_A = \frac{n_A}{n} = \frac{\text{hoe vaak A gebeurt}}{\text{hoe vaak je het experiment doet}} \]

Voorbeeld: posts op sociale media

Aan 1200 leerlingen van het vijfde jaar werd gevraagd hoe vaak per dag ze iets posten.

Posts per dag	Aantal leerlingen \(n_A\)	Relatieve frequentie \(f_A\)
0	168	0,14
1	312	0,26
2	360	0,30
3	216	0,18
4	72	0,06
5	36	0,03
6	36	0,03
totaal	1200 = n	1

Kies willekeurig een leerling. Kans dat die 0 keer post: \[ P(\text{0 posts}) = \frac{168}{1200} = 0{,}14 = 14\,\% \]

Kans dat die maximaal 2 keer post: \[ P(\text{max. 2 posts}) = \frac{168 + 312 + 360}{1200} = \frac{840}{1200} = 70\,\% \]

P = de letter voor kans. Komt van het Latijnse woord probabilitas. Je schrijft: \(P(\text{leerling post 0 keer}) = 0{,}14\).

b Kans op een gebeurtenis

De kans op een gebeurtenis is hier gewoon de relatieve frequentie. Je kunt ze tekenen in een kanshistogram. De som van alle kansen is 1.

0,140

0,261

0,302

0,183

0,064

0,035

0,036

posts per dag

Kort gezegd: empirische kans

\[ P(A) = \frac{\text{frequentie van A}}{\text{totale frequentie}} \]

c Kans schatten door vaak te proberen

Voorbeeld 1: geldstukken

Annelies gooit 10 keer. Ze krijgt 3 keer munt en 7 keer kruis. ‘Onmogelijk, die munt is niet zuiver!’ zegt ze. Haar klasgenoten gooien veel vaker:

aantal worpen	100	150	200	250	300	350	400	450	500
keer munt	41	83	108	117	143	182	186	230	246

Hoe vaker je gooit, hoe dichter de relatieve frequentie bij 0,5 komt. Dus \(P(\text{munt}) = P(\text{kruis}) = 0{,}5\).

Gooi zelf een muntstuk

Klik en kijk hoe de relatieve frequentie naar 0,5 kruipt. Met weinig worpen kan het nog fel afwijken, net zoals bij Annelies.

Nog geen worpen.

Wet van de grote getallen = doe je het experiment vaker, dan wordt de relatieve frequentie een steeds betere schatting van de kans.

Voorbeeld 2: kaarten

1300 keer trekken geeft ongeveer 100 azen: \(\frac{100}{1300} = \frac{1}{13}\). Dat klopt ook door symmetrie: \(\frac{4}{52} = \frac{1}{13}\).

Voorbeeld 3: één dobbelsteen

Elke kant heeft kans \(\frac{1}{6}\). Een computersimulatie met 60 en 8000 worpen laat zien dat alle staafjes even hoog worden.

Voorbeeld 4: twee dobbelstenen

Neem de som van de ogen. Er zijn 11 uitkomsten (2 tot 12). Niet elke som is even waarschijnlijk. Som 7 komt het meest voor.

Gooi zelf met een dobbelsteen

De rode streepjes zijn de echte kans. Kijk hoe de staafjes er naartoe groeien. Schakel om naar de vervalste dobbelsteen uit deel 7 en zie het verschil.

Nog geen worpen.

Uniforme verdeling = alle uitkomsten zijn even waarschijnlijk. Niet-uniforme verdeling = niet alle uitkomsten zijn even waarschijnlijk.

Uniforme kansverdeling: de wet van Laplace

Heeft U \(n\) uitkomsten die allemaal even waarschijnlijk zijn? Dan heeft elke uitkomst kans \(\frac{1}{n}\). Alle kansen samen zijn 1:

\[ P(u_1) + P(u_2) + \ldots + P(u_n) = 1 \]

Kort gezegd: de wet van Laplace

\[ P(A) = \frac{\#A}{\#U} = \frac{\text{aantal gunstige uitkomsten}}{\text{aantal mogelijke uitkomsten}} \]

\(P(A)\) lees je als: de kans van A.

Gevolgen:

\(P(U) = 1\) en \(P(\varnothing) = 0\)
Elke kans ligt tussen 0 en 1: \(0 \leq P(A) \leq 1\)

Theoretische kans = een kans die je precies kunt berekenen, zonder het experiment te doen. Je zoekt alle mogelijke uitkomsten, dan de gunstige, en je deelt.

Twee dobbelstenen: kies een som

Het rooster toont alle 36 uitkomsten. Klik op een som en zie welke uitkomsten gunstig zijn.

Waar vind je uniforme verdelingen?

een zuivere dobbelsteen gooien
een knikker uit een vaas trekken
een zuiver muntstuk opgooien
de hoofdprijs van een tombola trekken
een nummer bij eerlijk roulette
een stuk uit een voorraad kiezen voor controle
een proefpersoon uit een lijst aanwijzen
een kaart uit een goed geschud spel trekken

Enkele toepassingen op de wet van Laplace

Deelbaar door 3

Eén dobbelsteen. \(A = \{3, 6\}\), dus \(\#A = 2\) en \(\#U = 6\).

\(P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

Som is 6

Twee dobbelstenen, \(\#U = 36\). \(A = \{(1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1)\}\), dus \(\#A = 5\).

\(P(A) = \frac{5}{36}\)

Rode knikker

Vaas met 3 rode en 7 witte knikkers. \(\#A = 3\), \(\#U = 10\).

\(P(A) = \frac{3}{10} = 30\,\%\)

Wist je dat? Pierre-Simon Laplace (1749 tot 1827)

Laplace werd geboren op 23 maart 1749 in Normandië, als zoon van een landbouwer. In 1769 werd hij wiskundeleraar aan de militaire school in Parijs. Napoleon Bonaparte was daar zijn leerling (1784 en 1785). In 1794 werd hij professor aan de École Polytechnique. In 1799 maakte Napoleon hem minister van Binnenlandse Zaken. In 1812 schreef hij het boek Théorie Analytique des probabilités, met alles over kansrekenen tot dan. Hij vond dat kansrekenen eigenlijk gezond verstand is, omgezet in cijfers. Hij stierf op 5 maart 1827, precies 100 jaar na Newton.

Niet-uniforme kansverdeling

Laplace werkt niet meer als de uitkomsten niet even waarschijnlijk zijn. Dan moet je tellen hoe vaak iets gebeurt.

Voorbeeld 1: de vervalste dobbelsteen

Eén kant is verzwaard. We gooien 1500 keer en tellen de zessen.

30 worpen11 zessen
\(f = 0{,}3667\)

→

300 worpen103 zessen
\(f = 0{,}3433\)

→

1500 worpen502 zessen
\(f = 0{,}3347\)

In het begin schommelt het sterk. Daarna blijft het hangen rond 0,33. Dus \(P(\text{zes}) \approx \frac{1}{3}\).

De volledige kansverdeling van deze dobbelsteen:

uitkomst \(u_i\)	1	2	3	4	5	6
kans \(P(u_i)\)	\(\frac{1}{9}\)	\(\frac{5}{36}\)	\(\frac{5}{36}\)	\(\frac{5}{36}\)	\(\frac{5}{36}\)	\(\frac{1}{3}\)

Kant 1 is lichtjes verzwaard: 1 komt minder vaak, de overkant 6 komt vaker. Som van alle kansen = 1.

Kans op minstens 2 ogen:

\[ A = \{2,3,4,5,6\} \Rightarrow P(A) = \frac{32}{36} = \frac{8}{9} \qquad \text{of} \qquad \overline{A} = \{1\} \Rightarrow P(A) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \]

Kort gezegd: complementregel

\[ P(A) + P(\overline{A}) = 1 \]

Voorbeeld 2: afgekeurde producten in een fabriek

Hoeveel procent wordt afgekeurd? Dat hangt af van hoe groot je reeks is:

Reeksen van 25

tussen

0 % en 16 %

Reeksen van 250

tussen

3,2 % en 8,8 %

Reeksen van 2500

tussen

5,4 % en 6,4 %

Grotere reeks = stabielere waarde. De ware waarde ligt bij 6 %. Dus de kans op een afgekeurd object is 0,06.

Besluiten

Experimentele wet van de grote aantallen: hoe meer experimenten, hoe minder de relatieve frequentie nog verandert.
Kans op een gebeurtenis: bij een niet-uniforme verdeling is de kans het getal waar de relatieve frequenties rond schommelen na heel veel herhalingen.
Kansverdeling: de som van alle kansen is 1. De kans van \(A \neq \varnothing\) is de som van de kansen van de uitkomsten in A.
Wanneer gebruik je deze methode? Bij een vervalste dobbelsteen of verbogen muntstuk. Bij defecte gloeilampen. Bij treinen en bussen op tijd. Bij een duimspijker die op 2 manieren kan vallen.

Statistisch bepalen van kansen

Voorbeeld 1: kans op een meisje

Veel mensen denken: 0,5. Maar de statistiek zegt anders. In Vlaanderen:

Meisje

48,87 %

\(P = 0{,}4887\)

Jongen

51,13 %

\(P = 0{,}5113\)

Voorbeeld 2: sterftetafels

Sterftetafel = een tabel voor verzekeringen. Van 1 miljoen mensen staat erin hoeveel er nog leven (\(L_x\)) op elke leeftijd \(x\).

a Wordt een pasgeboren jongen 80? En een meisje?

\[ \text{jongen: } \frac{L_{80}}{L_0} = \frac{571\,123}{1\,000\,000} \approx 57{,}11\,\% \qquad \text{meisje: } \frac{L_{80}}{L_0} = \frac{722\,256}{1\,000\,000} \approx 72{,}23\,\% \]

b Wie wordt eerder 100: een meisje van 16 of een vrouw van 80? De vrouw van 80 is al een eind onderweg en heeft dus meer kans.

\[ \text{meisje van 16: } \frac{L_{100}}{L_{16}} = \frac{34\,710}{996\,041} \approx 3{,}48\,\% \qquad \text{vrouw van 80: } \frac{L_{100}}{L_{80}} = \frac{34\,710}{722\,256} \approx 4{,}81\,\% \]

c Wordt een jongen van 16 géén 65?

\[ \frac{L_{65}}{L_{16}} = \frac{870\,382}{994\,950} \approx 0{,}8748 \quad \Rightarrow \quad 1 - 0{,}8748 = 0{,}1252 = 12{,}52\,\% \]

Wist je dat?

Deze kansen veranderen met de tijd. Door betere geneeskunde steeg de levensverwachting in België in de twintigste eeuw met meer dan 40 %. En het gaat over ‘gemiddelde Belgen’. Rook je? Dan zakt je levensverwachting een heel stuk.

Kort gezegd: de sterftetafel in 1 zin

Van 1 miljoen baby’s zegt de kolom \(L_x\) hoeveel er nog leven op leeftijd \(x\). Meer moet je niet weten.

\[ P(\text{iemand van } a \text{ jaar wordt } b \text{ jaar}) = \frac{L_b}{L_a} = \frac{\text{nog in leven op } b}{\text{nog in leven op } a} \]

Dat is gewoon Laplace: gunstige (leven nog op b) gedeeld door mogelijke (leefden nog op a). Vraag ‘wordt niet b’? Dan \(1 - \frac{L_b}{L_a}\) (complementregel).

Stappenplan voor de toets

1 Man of vrouw?Kies de juiste tafel (bijlage 1 = mannen, bijlage 2 = vrouwen).

→

2 Hoe oud nu?Zoek \(L_a\) bij die leeftijd. Dat is de noemer.

→

3 Hoe oud worden?Zoek \(L_b\) bij de doelleeftijd. Dat is de teller.

→

4 Deel\(L_b / L_a\). Staat er ‘niet’? Doe dan \(1 -\) je antwoord.

Andere kolommen in de tafel: \(Q_x\) = kans om dit jaar te sterven. \(D_x\) = hoeveel er sterven tussen leeftijd \(x\) en \(x+1\) (dus \(L_x - L_{x+1}\)). \(E_x\) = levensverwachting: hoeveel jaar iemand van \(x\) gemiddeld nog leeft. Voor de kansvragen gebruik je bijna altijd alleen \(L_x\).

Sterftetafel-rekenmachine

De echte tafels uit het boek (cijfers 2021, FOD Economie) zitten hierin. Kies en kijk hoe de berekening loopt. Doe het daarna zelf met de papieren tafel.

is nu (jaar) wordt (jaar)

Toon de tafels (alleen kolom L)

Mannen

x	L
0	1 000 000
1	996 722
2	996 404
3	996 191
4	996 046
5	995 935
6	995 827
7	995 751
8	995 677
9	995 559
10	995 486
11	995 443
12	995 358
13	995 344
14	995 272
15	995 097
16	994 950
17	994 695
18	994 436
19	993 960
20	993 490
21	993 104
22	992 576
23	992 122
24	991 789
25	991 348
26	990 840
27	990 269
28	989 671
29	988 918
30	988 301
31	987 737
32	987 028
33	986 249
34	985 437
35	984 724
36	983 672
37	982 908
38	981 896
39	980 806
40	979 710
41	978 219
42	976 922
43	975 340
44	973 671
45	971 895
46	969 874
47	967 741
48	965 908
49	963 133
50	960 711
51	957 936
52	954 654
53	951 154
54	947 491
55	943 136
56	938 342
57	933 415
58	927 964
59	921 648
60	914 994
61	907 490
62	899 083
63	890 421
64	880 849
65	870 382
66	858 636
67	845 047
68	831 303
69	817 343
70	801 957
71	783 803
72	765 703
73	746 689
74	726 420
75	703 961
76	679 850
77	654 983
78	629 280
79	600 544
80	571 123
81	540 552
82	507 867
83	471 701
84	437 028
85	400 560
86	363 385
87	324 626
88	286 091
89	249 480
90	212 517
91	177 911
92	144 888
93	116 133
94	90 276
95	68 135
96	49 880
97	36 072
98	24 920
99	16 055
100	10 251
101	5 894
102	3 348
103	2 096
104	1 679
105	1 076

Vrouwen

x	L
0	1 000 000
1	997 457
2	997 213
3	997 077
4	996 875
5	996 792
6	996 744
7	996 680
8	996 633
9	996 556
10	996 495
11	996 450
12	996 346
13	996 316
14	996 226
15	996 165
16	996 041
17	995 946
18	995 834
19	995 673
20	995 513
21	995 280
22	995 096
23	994 868
24	994 645
25	994 370
26	994 241
27	994 085
28	993 795
29	993 449
30	993 189
31	992 829
32	992 570
33	992 140
34	991 760
35	991 349
36	990 895
37	990 305
38	989 811
39	989 163
40	988 355
41	987 518
42	986 769
43	985 968
44	984 894
45	983 938
46	982 747
47	981 587
48	980 131
49	978 467
50	976 545
51	974 611
52	972 694
53	970 378
54	968 081
55	965 475
56	962 774
57	959 918
58	956 572
59	953 061
60	949 131
61	944 871
62	940 168
63	934 493
64	928 603
65	922 250
66	915 014
67	907 045
68	898 676
69	889 012
70	878 788
71	867 825
72	856 222
73	843 746
74	830 776
75	816 334
76	800 454
77	782 981
78	763 832
79	743 902
80	722 256
81	697 190
82	670 144
83	641 969
84	610 208
85	575 729
86	539 187
87	499 796
88	459 226
89	416 678
90	370 199
91	326 311
92	280 104
93	237 348
94	196 229
95	158 202
96	123 454
97	95 069
98	69 953
99	50 230
100	34 710
101	23 635
102	14 840
103	9 579
104	6 319
105	3 316

Oefen met de tafel

Doe deze met je papieren tafel. Klik dan op ‘Controleer’. (Deze vragen zijn van deze pagina, niet uit het boek.)

1 Een man is 18. Wat is de kans dat hij 60 wordt?

Controleer

Tafel mannen. \(L_{18} = 994\,436\), \(L_{60} = 914\,994\).
\(P = \frac{914\,994}{994\,436} \approx 0{,}9201 = 92{,}01\,\%\)

2 Een vrouw is 40. Wat is de kans dat ze géén 90 wordt?

Controleer

Tafel vrouwen. \(L_{40} = 988\,355\), \(L_{90} = 370\,199\).
Kans om 90 te worden: \(\frac{370\,199}{988\,355} \approx 0{,}3746\). Dus géén 90: \(1 - 0{,}3746 = 0{,}6254 = 62{,}54\,\%\)

3 Wie heeft de grootste kans om 80 te worden: een man van 50 of een vrouw van 50?

Controleer

Man: \(\frac{L_{80}}{L_{50}} = \frac{571\,123}{960\,711} \approx 59{,}45\,\%\). Vrouw: \(\frac{722\,256}{976\,545} \approx 73{,}96\,\%\). De vrouw dus.

4 Een man is 70. Wat is de kans dat hij sterft vóór hij 75 is?

Controleer

Kans om 75 te halen: \(\frac{703\,961}{801\,957} \approx 0{,}8778\). Sterven vóór 75 is het tegengestelde: \(1 - 0{,}8778 = 0{,}1222 = 12{,}22\,\%\). Of rechtstreeks: \(\frac{801\,957 - 703\,961}{801\,957}\).

Kansen bepalen met boomdiagrammen

Boomdiagram (of kansboom) = een tekening met takken. Elke tak is een mogelijke stap. Op elke tak staat de kans.

Voorbeeld 1: twee kinderen

In het boek: kans op jongen 0,5113, kans op meisje 0,4887. Schuif de kans en zie de boom en de antwoorden veranderen. Zet hem op 0,5 voor de Taak uit het boek.

P(jongen) = 0,5113

Kort gezegd: 3 regels voor een kansboom

1 Som = 1Alle takken uit één punt tellen samen op tot 1.

2 VermenigvuldigGa je langs één tak verder, dan vermenigvuldig je. Dit is de productregel, voor ‘en’.

3 Tel opZijn meerdere takken goed, dan tel je ze op. Dit is de somregel, voor ‘of’.

Voorbeeld 2: knikkers zonder terugleggen

Bak met 3 witte, 4 zwarte en 3 rode knikkers. Je neemt er één, legt die niet terug, en neemt een tweede. Kans dat de tweede rood is? Drie takken zijn goed, dus we tellen op:

\[ P(\text{2e rood}) = \underbrace{\tfrac{3}{10}\cdot\tfrac{3}{9}}_{\text{wit, rood}} + \underbrace{\tfrac{4}{10}\cdot\tfrac{3}{9}}_{\text{zwart, rood}} + \underbrace{\tfrac{3}{10}\cdot\tfrac{2}{9}}_{\text{rood, rood}} = \tfrac{1}{10} + \tfrac{2}{15} + \tfrac{1}{15} = \tfrac{3}{10} \]

Even groot als de kans dat de eerste rood is. Toeval? Het boek vraagt om ook de kans op een rode derde knikker te berekenen en te vergelijken.

Voorbeeld 3: schaken

Annelies en Bert speelden 18 keer. Annelies won 9, Bert won 6, 3 keer remise. Ze spelen nog 3 partijen. Empirische kansen:

\[ P(A) = \tfrac{9}{18} = \tfrac{1}{2} \qquad P(B) = \tfrac{6}{18} = \tfrac{1}{3} \qquad P(C{:}\ \text{remise}) = \tfrac{3}{18} = \tfrac{1}{6} \]

a Annelies wint alle 3:

\[ \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{8} = 12{,}5\,\% \]

b Twee partijen eindigen op remise (de derde wint Annelies óf Bert; de remises kunnen op 3 plaatsen staan):

\[ 3\cdot\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{2} + 3\cdot\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{24} + \tfrac{1}{36} = \tfrac{5}{72} \approx 6{,}94\,\% \]

c Bert wint minstens 1 keer. Gebruik de complementregel: 1 min de kans dat Bert nooit wint.

\[ 1 - \left(\tfrac{2}{3}\right)^3 = 1 - \tfrac{8}{27} = \tfrac{19}{27} \approx 70{,}37\,\% \]

Voorbeeld 4: mét terugleggen

Vaas met 4 gele en 2 rode knikkers. Trek 3 keer, leg telkens terug. Precies 1 rode?

\(3 \cdot \frac{4}{27} = \frac{4}{9} \approx 44{,}4\,\%\)

De trekkingen zijn onafhankelijk: elke keer dezelfde kansen \(\frac{2}{3}\) en \(\frac{1}{3}\).

Voorbeeld 5: zonder terugleggen

Zelfde vaas, maar niets terugleggen. Precies 1 rode?

\(\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5} = 60\,\%\)

De trekkingen zijn afhankelijk: na de eerste blijven er maar 5 knikkers over.

Voorbeeld 6: lotto

Je kiest 6 getallen van 1 tot 45. Zes balletjes rollen uit de trommel. Kans dat je alle 6 juist hebt? De volgorde telt niet. Eerste balletje goed: 6 van 45. Dan blijven er 44 over, waarvan 5 goed. En zo verder (productregel):

\[ \frac{6}{45}\cdot\frac{5}{44}\cdot\frac{4}{43}\cdot\frac{3}{42}\cdot\frac{2}{41}\cdot\frac{1}{40} = \frac{1}{8\,145\,060} \]

Gokverslaving: −18

Jongeren onder 18 mogen niet gokken. Ook lotto kan verslavend zijn. Waarschuwingssignalen: je speelt langer dan gepland, je liegt over je gokken, je denkt altijd aan gokken.

Voorbeeld 7: een test op kanker

In een ziekenhuis heeft 1 % van de patiënten kanker (K). De test (T) is positief bij 90 % van de mensen mét kanker, maar ook bij 5 % van de mensen zónder kanker. Iemand test positief. Kans dat hij echt kanker heeft?

Kans op een positieve test (twee takken): \(0{,}01\cdot 0{,}9 + 0{,}99\cdot 0{,}05\). Kans op kanker én positief: \(0{,}01 \cdot 0{,}9\). Dus:

\[ P(\text{kanker} \mid \text{positief}) = \frac{0{,}90 \cdot 0{,}01}{0{,}90 \cdot 0{,}01 + 0{,}05 \cdot 0{,}99} = \frac{2}{13} \approx 15{,}4\,\% \]

Verrassend: de test is goed, maar slechts in 15,4 % van de positieve gevallen is er echt kanker. Dat komt omdat weinig mensen kanker hebben.

Voorbeeld 8: toeristen in Tirol

In Oetz zijn er 4 keer zoveel toeristen als bewoners (dus \(\frac{4}{5}\) toerist, \(\frac{1}{5}\) bewoner). 60 % van de toeristen draagt een tirolerhoed, 30 % van de bewoners ook. Je ziet iemand met een hoed. Kans dat het geen toerist is?

\[ P(\text{hoed}) = \tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{3}{10} + \tfrac{4}{5}\cdot\tfrac{3}{5} = \tfrac{27}{50} \qquad P(\text{bewoner en hoed}) = \tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{3}{10} = \tfrac{3}{50} \] \[ P(\text{geen toerist} \mid \text{hoed}) = \frac{3/50}{27/50} = \frac{1}{9} \approx 11\,\% \]

Kansen bepalen met venndiagrammen

Venndiagram = een tekening met cirkels. Elke cirkel is een groep. Waar cirkels overlappen, zit iemand in beide groepen.

Voorbeeld 1: rijbewijzen

In het boek: klas van 25. 8 hebben een bromfietsrijbewijs (BR), 4 een autorijbewijs (AU), 15 hebben geen van beide. Pas de getallen aan en zie hoe het diagram meebeweegt.

leerlingen BR AU geen van beide

Voorbeeld 2: de schoolband

150 leerlingen. Wie speelt piano (P), gitaar (G), drum (D)? 10 spelen alle drie. 25 piano en gitaar, 20 gitaar en drum, 15 piano en drum. 50 piano, 65 gitaar, 25 drum. Met drie cirkels krijg je 8 gebieden. Je start in het midden en werkt naar buiten.

Alle drie: \(\#(P \cap G \cap D) = 10\)
Enkel piano en gitaar: \(25 - 10 = 15\). Enkel gitaar en drum: \(20 - 10 = 10\). Enkel piano en drum: \(15 - 10 = 5\).
Enkel piano: \(50 - (15 + 10 + 5) = 20\). Enkel gitaar: \(65 - (15 + 10 + 10) = 30\). Enkel drum: \(25 - (5 + 10 + 10) = 0\).
Geen instrument: \(150 - 90 = 60\).

a Minstens één instrument

\(\frac{90}{150} = \frac{3}{5}\)

b Geen enkel instrument

\(\frac{60}{150} = \frac{2}{5}\)

of \(1 - \frac{3}{5}\)

c Juist twee

\(\frac{5+15+10}{150} = \frac{1}{5}\)

d Geen piano

\(\frac{60+30+10+0}{150} = \frac{2}{3}\)

Kansen bepalen met kruistabellen

Kruistabel = een tabel met twee kenmerken: één in de rijen, één in de kolommen. De totalen aan de rand heten marginale waarden.

Voorbeeld 1: met de fiets naar school

Komen leerlingen soms met de fiets (F) of nooit (\(\overline{F}\))? Per graad (G1, G2, G3):

	G1	G2	G3	totaal
F (soms)	72	88	67	227
\(\overline{F}\) (nooit)	94	76	103	273
totaal	166	164	170	500

Een leerkracht spreekt een willekeurige leerling aan. Kans dat die …

soms fietst?

\(P(F) = \frac{227}{500} = 45{,}4\,\%\)

in G2 zit?

\(P(G2) = \frac{164}{500} = 32{,}8\,\%\)

in G3 zit en nooit fietst?

\(P(G3 \cap \overline{F}) = \frac{103}{500} = 20{,}6\,\%\)

Voorbeeld 2: nachtelijk bosspel

Elke deelnemer krijgt een kompas (K), stafkaart (S) of gps (G), én een zaklamp (Z) of walkietalkie (W). Klik op vakjes in de tabel. De kans is: gekozen vakjes gedeeld door 85.

	K	S	G	totaal
Z	32	15	13	60
W	16	6	3	25
totaal	48	21	16	85

Klik op één of meer vakjes.

Probeer deze uit het boek en controleer:

vraag	rekening	kans
een stafkaart	\(P(S) = \frac{21}{85}\)	24,7 %
een zaklamp	\(P(Z) = \frac{60}{85}\)	70,6 %
walkietalkie én gps	\(P(W \cap G) = \frac{3}{85}\)	3,5 %
geen kompas	\(P(\overline{K}) = \frac{21 + 16}{85} = \frac{37}{85}\)	43,5 %
kompas óf gps	\(P(K \cup G) = \frac{48 + 16}{85} = \frac{64}{85}\)	75,3 %
zaklamp én walkietalkie	\(P(Z \cap W) = \frac{0}{85}\)	0 %
zaklamp óf stafkaart	\(P(Z \cup S) = \frac{32 + 15 + 13 + 6}{85} = \frac{66}{85}\)	77,6 %
geen stafkaart, wel zaklamp	\(P(\overline{S} \cap Z) = \frac{32 + 13}{85} = \frac{45}{85}\)	52,9 %

Samenvatting

Twee soorten kansverdeling

Uniform

Alle uitkomsten even waarschijnlijk. Gebruik de wet van Laplace:

\(P(A) = \frac{\#A}{\#U}\)

= gunstige / mogelijke uitkomsten

Niet-uniform

Niet even waarschijnlijk. De kans is het getal waar de relatieve frequentie \(f_A = \frac{n_A}{n}\) naartoe gaat bij heel veel herhalingen.

Som van alle kansen = 1. Kans van A = som van de kansen van de uitkomsten in A.

Vier manieren om kansen te berekenen

1 BoomdiagramTakken uit één punt: som 1. Langs een tak: vermenigvuldig (productregel, ‘en’). Meerdere goede takken: tel op (somregel, ‘of’).

2 Complementregel\(P(A) + P(\overline{A}) = 1\)

3 VenndiagramCirkels die overlappen.

4 KruistabelTabel met totalen aan de rand.

Oefeningen

Oefening 1. Telkens zijn A en B gegeven. Omschrijf de gevraagde gebeurtenis en bereken haar kans. Probeer eerst zelf, klik dan op ‘Controleer’. De uitwerkingen zijn van deze pagina, niet uit het boek.

a A: een even aantal ogen (één dobbelsteen). B: een aantal ogen dat een kwadraat is.
\(A \cap B\) en \(P(A \cap B)\) \(A \cup B\) en \(P(A \cup B)\)

Controleer

\(A = \{2,4,6\}\), \(B = \{1,4\}\).
\(A \cap B = \{4\}\): even én kwadraat. \(P = \frac{1}{6}\).
\(A \cup B = \{1,2,4,6\}\): even óf kwadraat. \(P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

b A: een priemgetal gooien (één dobbelsteen). B: een even aantal ogen.
\(A \cap B\) en \(P(A \cap B)\)

Controleer

\(A = \{2,3,5\}\), \(B = \{2,4,6\}\).
\(A \cap B = \{2\}\): het enige even priemgetal. \(P = \frac{1}{6}\).

c Twee dobbelstenen. A: de som van de ogen is 3. B: het product van de ogen is 6.
\(A \cup B\) en \(P(A \cup B)\)

Controleer

\(A = \{(1,2);(2,1)\}\), \(B = \{(1,6);(6,1);(2,3);(3,2)\}\). Geen overlap.
\(A \cup B\): som 3 óf product 6. Dat zijn 6 uitkomsten op 36. \(P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).

d In een kast liggen een zwarte, groene, blauwe en gele trui. A: kies zwart, groen of geel. B: kies zwart, groen of blauw.
\(A \cap B\) en \(P(A \cap B)\)

Controleer

\(A \cap B = \{\text{zwart}, \text{groen}\}\): een trui die in beide keuzes zit. \(P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Oefeningen e, f en g gaan over een standaard kaartspel van 52 kaarten (13 harten, 4 azen).

e A: een hartenkaart trekken. B: een aas trekken.
\(A \setminus B\) en \(P(A \setminus B)\)

Controleer

\(A \setminus B\): een hartenkaart die geen aas is. Dat zijn \(13 - 1 = 12\) kaarten. \(P = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}\).

f A: een hartenkaart trekken. B: een aas trekken.
\(B \setminus A\) en \(P(B \setminus A)\)

Controleer

\(B \setminus A\): een aas die geen harten is. Dat zijn \(4 - 1 = 3\) kaarten. \(P = \frac{3}{52}\).

g A: een hartenkaart trekken. B: een kaart kleiner dan 5 trekken.
\(A \cap \overline{B}\) en \(P(A \cap \overline{B})\)

Controleer

\(A \cap \overline{B}\): een hartenkaart die níet kleiner dan 5 is. Tel je de aas als 1, dan zijn A, 2, 3, 4 kleiner dan 5. Blijven over: 13 − 4 = 9 hartenkaarten. \(P = \frac{9}{52}\). (Tel je de aas niet als 1, dan is het \(\frac{10}{52} = \frac{5}{26}\). Vraag je leerkracht welke afspraak geldt.)

Tip: \(\cap\) = ‘en’, \(\cup\) = ‘of’, \(\setminus\) = ‘wel … niet’, een streepje erboven = ‘niet’.

Test jezelf

Tien korte vragen over het hele hoofdstuk. Klik op een antwoord.